En origen, se puede intuir que el hombre empezó a emplear el concepto de número cuando tuvo la necesidad y capacidad de contar. En consecuencia, es de suponer que los primeros números que se conocieron fueron los que hoy llamamos naturales (1, 2, 3, etc.). También es fácil imaginar que para denotar embrionariamente este concepto usaran los dedos de la mano, comenzando con el 1 hasta llegar al 5 con una mano, y ante la necesidad de contar más, siguiendo con la otra mano hasta el 10. Desde este punto de vista diríase que antropológico, cabe plantearse si los animales tienen necesidad y capacidad de contar, haciendo hincapié en que su capacidad para emplear órganos de su cuerpo para contar suele ser mucho más limitada.
Toda vez que se superaban estas formas precarias de contar, se idearon lenguajes para representar las cantidades, que básicamente pueden clasificarse en tres categorías:
- Sistemas de notación aditiva. Representan con un símbolo una magnitud particular de números; por ejemplo, en el sistema de numeración romano, I representa el 1, V el 5, X el 10, C el 100, etc. La escritura de un número se realiza acumulando varios de estos símbolos según las reglas del propio sistema numérico; por ejemplo, 16 se escribiría XVI. De este tipo son los sistemas de numeración: egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.
- Sistemas de notación posicional. En estos sistemas es la posición de una cifra lo que indica la magnitud particular de números. Por ejemplo, un 1 en la posición de las unidades representa el número 1, pero un 1 en la posición de las decenas representa el número 10, y en la posición de las centenas representa el 100. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: el sistema chino (300 a. C.), que no disponía de 0; el sistema babilónico (2000 a. C.), con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin 0 hasta el 300 a. C.
- Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. Si, por ejemplo, en los sistemas anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. De este tipo son los sistemas de numeración: chino clásico, asirio, armenio, etíope y maya.
En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de cómo representar la ausencia de número en una determinada posición. Por ejemplo, si queremos representar un 10, empleamos el 1 en la posición de las decenas, pero -salvo que se tenga un símbolo para la ausencia de número, que es el caso del dígito ‘0’- no se sabe cómo representar esa posición en las decenas y ninguna cifra en las unidades. En el sistema babilónico, el número 32 escrito en base 60 puede ser 3 · 60 + 2 o 3 · 602+0 · 60 + 2. A veces, se utilizaba la posición vacía para evitar este problema; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no equivocarse.
En la obra de Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, es donde por primera aparece sistematizada la aritmétrica (+, -, *, /, potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así, por ejemplo, para el cociente, establece:
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)
No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica, y su mezcla de lo práctico con lo formal.
La transmisión del sistema indo-arábigo a Occidente se comienza a producir en el siglo XIII, con las contribuciones de Alexandre de Villedieu (1225), Sacrobosco (circa 1195, o 1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250), más conocido como Fibonacci. Éste último viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias, y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: 1,1,2,3,5,8,…, conocida por su nombre, o: 𝑢𝑛=𝑢𝑛−1+𝑢𝑛−2.
